Sudoku Wat is Sandwich Sudoku?
Sandwich Sudoku is gewone sudoku met een getal aan het eind van elke rij en kolom. Vul het raster zo in dat:
- elke rij, kolom en 3×3-blok de cijfers 1 tot en met 9 precies één keer bevat;
- en elk getal aan de rand de som is van de cijfers tussen de 1 en de 9 van zijn rij of kolom.
De 1 en de 9 zijn het brood; alleen het beleg ertussen telt, en het maakt niet uit welke van de twee eerst komt. Een rij 4, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 6, 8 heeft som 3 + 5 + 7 = 15. Een 0 betekent dat de 1 en de 9 naast elkaar staan; 35 dat ze aan de twee uiteinden staan met al het andere ertussen. Twee sommen komen nooit voor: 1, omdat het kleinste beleg een losse 2 is, en 34, omdat één cijfer weglaten uit 2 + 3 + … + 8 er minstens 2 afhaalt.
Een kooi in Killer Sudoku vertelt je welke vakjes samen optellen. Een sandwichsom niet: welke vakjes hij beslaat, hangt af van waar de 1 en de 9 komen, en dat is juist het onbekende. Elke som beantwoordt dus twee vragen tegelijk — hoe ver de 1 en de 9 uit elkaar staan en welke cijfers het gat vullen —, en de cijfers die hij weglaat moeten buiten het brood staan. Een som van 20 over vier vakjes zegt net zoveel over de andere drie vakjes van de rij als over die vier.
Wat vertelt een som je voordat je iets invult?
Begin bij het gat. Een gat van n vakjes bevat n verschillende cijfers van 2 tot en met 8, dus de som beperkt hoe breed het gat kan zijn, en een rij heeft maar zoveel plekken voor een gat van die breedte. Zet de kandidaten erin als potloodnotities en toets elke ligging van het brood eraan:
| Gat | Mogelijke sommen | Sommen alleen van dit gat | Sommen met één vulling | Plekken |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | niets | 16 |
| 1 | 2–8 | 2, 3, 4 | de som zelf | 14 |
| 2 | 5–15 | — | 5, 6, 14, 15 | 12 |
| 3 | 9–21 | — | 9, 10, 20, 21 | 10 |
| 4 | 14–26 | — | 14, 15, 25, 26 | 8 |
| 5 | 20–30 | — | 20, 21, 29, 30 | 6 |
| 6 | 27–33 | 31, 32, 33 | 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 | 4 |
| 7 | 35 | 35 | 35 | 2 |
Het gat is het aantal vakjes tussen de 1 en de 9, gevuld met verschillende cijfers van 2 tot en met 8. ‘Alleen van dit gat’ betekent dat de som vastlegt hoe ver de 1 en de 9 uit elkaar staan; ‘één vulling’ dat bij die breedte ook de cijfers ertussen vastliggen. ‘Plekken’ telt op hoeveel manieren een gat van die grootte in een lijn past, beide volgordes van de 1 en de 9 meegeteld. Sommen van 5 tot 30 zijn op meer dan één manier te maken, en daar zit het lezen.
Lees elke som zo voordat je een cijfer zet. Over 40 borden per niveau streept de eerste lezing mediaan 70 potloodnotities weg op Makkelijk en 114 op Middel, en legt ze meteen 24 en 27 vakjes vast — ongeveer de helft van het lege raster op Makkelijk. Een leeg vakje begint op Makkelijk met zo’n drie kandidaten en eindigt de lezing met anderhalf. Op Expert, met acht van de achttien sommen, streept de lezing nog steeds 93 notities weg en legt ze 9 vakjes vast. De verreweg meest voorkomende som is 0, meer dan één lijn op de vijf: de 1 en de 9 staan vaker naast elkaar dan in welke andere schikking ook.
Doen de sommen echt iets?
Elk bord dat deze pagina deelt, is zo gebouwd dat de oplossing ervan afhangt: de generator haalt cijfers weg zolang de puzzel met de getoonde sommen één oplossing heeft, controleert dan dezelfde gegeven cijfers zonder de sommen en graaft door tot die er niet meer één hebben. Op het bord hierboven:
We controleerden 160 verse borden, 40 per niveau: elk ervan heeft één oplossing met zijn sommen en meer dan één zonder. Zonder de sommen hebben de gegeven cijfers op Makkelijk mediaan zes oplossingen en tot 98; op Middel, Moeilijk en Expert meer dan 200 op elk bord dat we probeerden. Een oplosser die de sommen negeert, loopt op elk bord van elk niveau vast.
Tot deze herschrijving klopte dat niet. De oude generator loste niets op: hij maakte willekeurige vakjes leeg tot een aantal en toonde een willekeurige keuze aan sommen. Op dezelfde manier gemeten had de helft van zijn borden meer dan één oplossing — 6 van de 40 op Makkelijk, 13 op Middel, 26 op Moeilijk en 35 van de 40 op Expert —, en dat gold ook voor 27 van de volgende 60 dagelijkse sandwichpuzzels. Op die borden kon een cijfer dat geen enkele regel brak toch als fout tellen, omdat de pagina elk cijfer vergeleek met de ene oplossing die ze toevallig had opgeslagen.
Waarin verschillen de vier niveaus?
We haalden 40 verse borden per niveau door een oplosser die één techniek tegelijk kent, en namen daarna technieken weg om te zien welke borden stilvielen:
| Niveau | Gegeven cijfers | Zichtbare sommen | Notities die de eerste lezing wegstreept | Vakjes die vastliggen | Lezen en singles volstaan | Vraagt Locked Candidates | Voorbij onze oplosser |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Makkelijk | 30–34 | 18 van 18 | 70 | 24 | 100% | 0% | 0% |
| Middel | 27 | 18 van 18 | 114 | 27 | 100% | 0% | 0% |
| Moeilijk | 21 | 12 van 18 | 131 | 19 | 95% | 3% | 3% |
| Expert | 17 | 8 van 18 | 93 | 9 | 65% | 18% | 18% |
40 borden per niveau uit de generator van deze pagina, vaste seed; medianen, aandelen afgerond. De oplosser leest elke zichtbare som tot er niets meer verandert en kent daarna naked en hidden singles, Locked Candidates, naked pairs en triples en de X-Wing; borden ‘voorbij onze oplosser’ hebben nog steeds precies één oplossing. Makkelijk komt een paar gegeven cijfers onder 34 uit als dat nodig is om de sommen dragend te maken. Welke sommen op Moeilijk en Expert verborgen zijn, wordt willekeurig gekozen.
Makkelijk en Middel verschillen in hoeveel je krijgt; Moeilijk en Expert nemen sommen weg. Sommen lezen plus naked singles en hidden singles maken elk Makkelijk- en Middel-bord af, en alle Moeilijk-borden op twee na. Expert is de echte stap: met maar acht sommen moeten de lijnen zonder som als gewone sudoku worden opgelost, en ongeveer één bord op de zes vraagt Locked Candidates en één op de zes gaat verder dan alles wat onze oplosser kent. De niveaus hadden vroeger 38, 30, 25 en 22 gegeven cijfers. Dat was veel meer dan de sommen nodig hebben — met alle achttien zichtbaar bleven borden uniek toen we ze tot 12 gegeven cijfers uitgroeven —, en het oude Makkelijk was 15 keer op de 40 een gewone sudoku met getallen eromheen.
De generator vult een raster, berekent zijn achttien sommen, kiest de sommen die het niveau toont en haalt de cijfers één voor één weg, en houdt een verwijdering alleen zolang de puzzel met die sommen precies één oplossing houdt; een zoektocht die hij niet kan afmaken, antwoordt ‘niet bewezen’ en het cijfer blijft staan. We losten 160 verse en 60 dagelijkse borden opnieuw op met een aparte teller die daarvoor is geschreven, en een tweede van onszelf waar de eerste zonder stappen kwam: elk had precies één oplossing. Een Expert-bord geeft 17 cijfers, het minimum dat een gewone sudoku kan hebben met nog steeds één oplossing; hier doen acht sommen de rest. Een bord wordt in 3 tot 4 milliseconden gebouwd, 34 in het slechtste geval.
Welk niveau moet je spelen?
Begin op Middel. Zevenentwintig gegeven cijfers en alle achttien sommen: het lezen doet op elk bord echt werk — zonder de sommen hebben dezelfde gegeven cijfers meer dan 200 oplossingen — en na het lezen heb je nooit meer dan singles nodig. Makkelijk is de plek om het lezen zelf te leren, omdat de gegeven cijfers zoveel vastleggen dat elke som nog maar een paar schikkingen overhoudt.
Moeilijk verbergt zes sommen en neemt zes cijfers extra weg, en gaat toch negentien van de twintig keer met lezen en singles. Expert verbergt tien sommen, en de lijnen zonder som maken het moeilijk: een bord dat vast lijkt te zitten, heeft meestal een lijn zonder som die een gelezen lijn kruist, en Locked Candidates zijn de zet. Elk bord heeft nog steeds precies één oplossing, en geen enkel vraagt om te gokken.
Wat er misgaat bij een Sandwich Sudoku
- Het brood meetellen. De 1 en de 9 horen nooit bij de som. Een 1 en een 9 met een 5 ertussen maken 5, niet 15.
- De volgorde aannemen. De 1 kan na de 9 komen. Elke breedte van het gat past in beide richtingen in de lijn, en de som zegt niet welke.
- De buitenkant vergeten. De cijfers die een som buiten het gat laat, moeten erbuiten staan. Een som van 35 zet alle cijfers van 2 tot en met 8 tussen de uiteinden; een som van 5 over twee vakjes is 2 en 3, dus 4, 5, 6, 7 en 8 gaan allemaal buiten het brood.
- Een ontbrekende som als 0 lezen. Op Moeilijk en Expert tonen sommige lijnen geen getal. Leeg is geen nul; het is een lijn zonder somregel.
- Een som maar één keer lezen. Elk cijfer dat in de lijn komt, en elke 1 of 9 in een lijn die hem kruist, verandert welke schikkingen overblijven. Lees hem elke keer opnieuw.
Waar komt Sandwich Sudoku vandaan?
De regel stond al jaren vóór de naam in druk. Prasanna Seshadri publiceerde hem op 19 februari 2013 als ‘Between 1 and 9 Sudoku’ voor de Daily Sudoku League, met de uitleg dat de aanwijzingen buiten het raster de som zijn van de getallen tussen de cijfers 1 en 9 in die rij of kolom. Een groot publiek bereikte hij in maart 2019, toen het YouTube-kanaal Cracking the Cryptic ‘A sudoku with only 3 givens? How is that even possible?’ plaatste, een sandwichpuzzel waarvan de sommen bijna het hele raster droegen. Op 6 mei 2019 schreef Alex Bellos erover in de Guardian onder de titel ‘Sandwich sudoku – a new puzzle goes viral’, in juni begon de Guardian sandwichsudoku’s te drukken, en in augustus volgde een Sandwich Sudoku-app van Cracking the Cryptic en Studio Goya.
Wat doen de knoppen?
Kies een vakje en dan een cijfer van 1 tot en met 9; de pagina opent op Middel. Kies je een vakje, dan lichten de rij, de kolom en het blok ervan op. Onder het raster:
- Notities zet potloodnotities aan en uit. Een juist cijfer wist zichzelf uit de notities van zijn rij, zijn kolom en zijn blok; een fout cijfer laat je notities met rust, en de sommen lees je zelf opnieuw.
- Wissen maakt het gekozen vakje leeg; twee keer hetzelfde cijfer indrukken doet hetzelfde.
- Ongedaan neemt de laatste wijziging aan een vakje terug, maar niet de notities die een juist cijfer elders heeft gewist, en niet de foutenteller.
- Hint vult één vakje met zijn antwoord, willekeurig gekozen en niet als het vakje dat je als volgende zou kunnen beredeneren.
- Oplossen vraagt eerst om bevestiging, vult dan het raster en stopt de timer.
- Nieuw Spel deelt een ander bord op het huidige niveau; de niveauknoppen delen er een op het hunne.
De cijfers 1–9, de pijltjestoetsen, Backspace of Delete en Ctrl+Z werken vanaf het toetsenbord. Het bord wordt na elke zet in deze browser opgeslagen, sommen en timer inbegrepen, en wacht op je als je terugkomt. Op de dagelijkse pagina staat elke dag een nieuw bord, uit dezelfde generator.
Waar je daarna heen kunt
Sandwich Sudoku is de somvariant met de sommen buiten het raster. Pijl Sudoku tekent ze erin, een cirkel die het totaal is van het pad dat eruit vertrekt, en Killer Sudoku zet een som in elke kooi en haalt de gegeven cijfers weg. Wolkenkrabber Sudoku houdt de aanwijzingen aan de rand maar telt wat je vandaar ziet in plaats van iets op te tellen, en Thermo Sudoku ruilt het rekenwerk in voor een volgorde langs een lijn.