Sudoku Qu’est-ce que le Sudoku Sandwich ?
Le Sudoku Sandwich est un sudoku ordinaire avec un nombre au bout de chaque ligne et de chaque colonne. Remplissez la grille de sorte que :
- chaque ligne, colonne et bloc 3×3 contienne les chiffres de 1 à 9 une seule fois ;
- et chaque nombre au bord soit la somme des chiffres entre le 1 et le 9 de sa ligne ou de sa colonne.
Le 1 et le 9 sont le pain ; seule la garniture entre eux est additionnée, et peu importe lequel des deux vient en premier. Une ligne 4, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 6, 8 a pour somme 3 + 5 + 7 = 15. Un 0 signifie que le 1 et le 9 sont côte à côte ; 35 signifie qu’ils sont aux deux extrémités, avec tout le reste entre eux. Deux sommes n’apparaissent jamais : 1, parce que la plus petite garniture est un 2 seul, et 34, parce qu’ôter un chiffre de 2 + 3 + … + 8 retire au moins 2.
Une cage de Killer Sudoku indique quelles cases s’additionnent. Une somme sandwich, non : les cases qu’elle couvre dépendent de l’endroit où vont le 1 et le 9, et c’est justement l’inconnue. Chaque somme répond donc à deux questions à la fois — à quelle distance se trouvent le 1 et le 9, et quels chiffres remplissent l’écart —, et les chiffres qu’elle laisse de côté doivent aller hors du pain. Une somme de 20 sur quatre cases en dit autant sur les trois autres cases de la ligne que sur les quatre.
Que dit une somme avant qu’on place quoi que ce soit ?
Commencez par l’écart. Un écart de n cases contient n chiffres différents de 2 à 8 ; la somme limite donc la largeur possible de l’écart, et une ligne n’a qu’un nombre limité de places pour un écart de cette largeur. Inscrivez les candidats en notes au crayon et confrontez-leur chaque position du pain :
| Écart | Sommes possibles | Sommes propres à cet écart | Sommes à une seule garniture | Positions |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | rien | 16 |
| 1 | 2–8 | 2, 3, 4 | la somme elle-même | 14 |
| 2 | 5–15 | — | 5, 6, 14, 15 | 12 |
| 3 | 9–21 | — | 9, 10, 20, 21 | 10 |
| 4 | 14–26 | — | 14, 15, 25, 26 | 8 |
| 5 | 20–30 | — | 20, 21, 29, 30 | 6 |
| 6 | 27–33 | 31, 32, 33 | 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 | 4 |
| 7 | 35 | 35 | 35 | 2 |
L’écart est le nombre de cases entre le 1 et le 9, remplies de chiffres différents de 2 à 8. « Propres à cet écart » signifie que la somme fixe la distance entre le 1 et le 9 ; « une seule garniture », qu’à cette largeur les chiffres entre eux sont fixés aussi. « Positions » compte les façons de placer un écart de cette taille dans une ligne, les deux ordres du 1 et du 9 compris. Les sommes de 5 à 30 se forment de plusieurs façons, et c’est là qu’est la lecture.
Lisez chaque somme ainsi avant de placer un chiffre. Sur 40 grilles par niveau, la première lecture raye en médiane 70 notes au crayon en Facile et 114 en Moyen, et fixe d’emblée 24 et 27 cases — environ la moitié de la grille vide en Facile. Une case vide commence avec environ trois candidats en Facile et finit la lecture avec un et demi. En Expert, avec huit sommes sur dix-huit, la lecture raye encore 93 notes et fixe 9 cases. La somme de loin la plus fréquente est 0, plus d’une ligne sur cinq : le 1 et le 9 sont côte à côte plus souvent que dans toute autre disposition.
Les sommes servent-elles vraiment à quelque chose ?
Chaque grille que distribue cette page est construite pour que la solution en dépende : le générateur retire des chiffres tant que la grille a une seule solution avec les sommes affichées, puis vérifie les mêmes indices sans les sommes et continue de creuser jusqu’à ce qu’ils n’en aient plus une seule. Sur la grille ci-dessus :
Nous avons vérifié 160 grilles neuves, 40 par niveau : chacune a une seule solution avec ses sommes et plusieurs sans elles. Sans les sommes, les indices d’une grille Facile ont en médiane six solutions et jusqu’à 98 ; ceux de Moyen, Difficile et Expert plus de 200 sur chaque grille essayée. Un solveur qui ignore les sommes se bloque sur chaque grille, à chaque niveau.
Ce n’était pas vrai avant cette refonte. L’ancien générateur ne résolvait rien : il vidait des cases au hasard jusqu’à un nombre donné et affichait un choix de sommes au hasard. Mesurée de la même façon, la moitié de ses grilles avait plus d’une solution — 6 sur 40 en Facile, 13 en Moyen, 26 en Difficile et 35 sur 40 en Expert —, de même que 27 des 60 prochaines grilles sandwich du jour. Sur ces grilles, un chiffre qui n’enfreignait aucune règle pouvait être compté comme erreur, parce que la page comparait chaque chiffre à la seule solution qu’elle avait gardée.
En quoi les quatre niveaux diffèrent-ils ?
Nous avons passé 40 grilles neuves par niveau dans un solveur qui connaît une technique à la fois, puis retiré des techniques pour voir quelles grilles s’arrêtaient :
| Niveau | Indices | Sommes affichées | Notes rayées à la première lecture | Cases fixées | Lecture et singles suffisent | Demande des Locked Candidates | Au-delà de notre solveur |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Facile | 30–34 | 18 sur 18 | 70 | 24 | 100 % | 0 % | 0 % |
| Moyen | 27 | 18 sur 18 | 114 | 27 | 100 % | 0 % | 0 % |
| Difficile | 21 | 12 sur 18 | 131 | 19 | 95 % | 3 % | 3 % |
| Expert | 17 | 8 sur 18 | 93 | 9 | 65 % | 18 % | 18 % |
40 grilles par niveau issues du générateur de cette page, graine fixe ; médianes, et parts arrondies. Le solveur lit chaque somme affichée jusqu’à un point fixe, puis connaît singles nus et cachés, Locked Candidates, paires nues et triplets nus, et le X-Wing ; les grilles « au-delà de notre solveur » ont tout de même exactement une solution. Facile descend de quelques indices sous 34 quand c’est ce qu’il faut pour que les sommes portent la grille. Les sommes masquées en Difficile et Expert sont choisies au hasard.
Facile et Moyen diffèrent par ce qu’on vous donne ; Difficile et Expert retirent des sommes. La lecture des sommes plus les singles nus et les singles cachés terminent toutes les grilles Facile et Moyen, et toutes sauf deux en Difficile. Expert est la vraie marche : avec seulement huit sommes, les lignes sans somme doivent se résoudre comme un sudoku ordinaire, et environ une grille sur six demande des Locked Candidates, une sur six dépasse tout ce que notre solveur connaît. Les niveaux avaient autrefois 38, 30, 25 et 22 indices. C’était bien plus que ce qu’il faut aux sommes — avec les dix-huit affichées, les grilles restaient uniques quand nous les avons creusées jusqu’à 12 indices —, et l’ancien Facile était 15 fois sur 40 un sudoku ordinaire avec des nombres autour.
Le générateur remplit une grille, calcule ses dix-huit sommes, choisit celles que le niveau affiche et retire les chiffres un à un, ne gardant un retrait que tant que la grille a exactement une solution avec ces sommes ; une recherche qu’il ne peut pas terminer répond « non prouvé » et le chiffre reste. Nous avons re-résolu 160 grilles neuves et 60 grilles du jour avec un compteur écrit exprès, et un second à nous quand le premier manquait d’étapes : chacune avait exactement une solution. Une grille Expert donne 17 chiffres, le minimum qu’un sudoku ordinaire puisse avoir tout en gardant une seule solution ; ici, huit sommes font le reste. Une grille se construit en 3 à 4 millisecondes, 34 au pire.
Quel niveau choisir ?
Commencez en Moyen. Vingt-sept indices et les dix-huit sommes : la lecture fait un vrai travail sur chaque grille — sans elle, les mêmes indices ont plus de 200 solutions — et il ne faut jamais plus que des singles une fois les sommes lues. Facile est l’endroit pour apprendre la lecture elle-même, car les indices fixent tant de choses qu’il ne reste à chaque somme que quelques dispositions.
Difficile masque six sommes et retire six chiffres de plus, et tombe pourtant dix-neuf fois sur vingt à la lecture et aux singles. Expert masque dix sommes, et ce sont les lignes sans somme qui compliquent tout : une grille qui semble bloquée a presque toujours une ligne sans somme qui croise une ligne lue, et les Locked Candidates sont le coup à jouer. Chacune a quand même exactement une solution, et aucune n’exige de deviner.
Ce qui se passe mal dans un Sudoku Sandwich
- Compter le pain. Le 1 et le 9 ne font jamais partie de la somme. Un 1 et un 9 avec un 5 entre eux font 5, pas 15.
- Supposer l’ordre. Le 1 peut venir après le 9. Chaque largeur d’écart peut se placer dans la ligne dans les deux sens, et la somme ne dit pas lequel.
- Oublier l’extérieur. Les chiffres qu’une somme laisse hors de l’écart doivent aller dehors. Une somme de 35 met tous les chiffres de 2 à 8 entre les bouts ; une somme de 5 sur deux cases, c’est 2 et 3, donc 4, 5, 6, 7 et 8 vont tous hors du pain.
- Lire une somme absente comme un 0. En Difficile et Expert, certaines lignes n’affichent aucun nombre. Vide n’est pas zéro : c’est une ligne sans règle de somme.
- Lire une somme une seule fois. Chaque chiffre placé dans la ligne, et chaque 1 ou 9 placé dans une ligne qui la croise, change les dispositions qui restent. Relisez-la à chaque fois.
D’où vient le Sudoku Sandwich ?
La règle a été imprimée des années avant le nom. Prasanna Seshadri l’a publiée le 19 février 2013 sous le titre « Between 1 and 9 Sudoku » pour la Daily Sudoku League, en disant que les indices hors de la grille sont la somme des nombres situés entre les chiffres 1 et 9 de cette ligne ou colonne. Elle a touché un large public en mars 2019, quand la chaîne YouTube Cracking the Cryptic a publié « A sudoku with only 3 givens? How is that even possible? », une grille sandwich dont les sommes portaient presque toute la grille. Le 6 mai 2019, Alex Bellos l’a présentée dans le Guardian sous le titre « Sandwich sudoku – a new puzzle goes viral », le Guardian a commencé à imprimer des sudokus sandwich en juin, et une application Sandwich Sudoku de Cracking the Cryptic et Studio Goya a suivi en août.
À quoi servent les boutons ?
Choisissez une case, puis un chiffre de 1 à 9 ; la page s’ouvre en Moyen. Une case choisie met en évidence sa ligne, sa colonne et son bloc. Sous la grille :
- Notes active et désactive les notes au crayon. Un bon chiffre s’efface des notes de sa ligne, de sa colonne et de son bloc ; un mauvais laisse vos notes tranquilles, et c’est à vous de relire les sommes.
- Effacer vide la case choisie ; appuyer deux fois sur le même chiffre fait de même.
- Annuler reprend la dernière modification d’une case, mais pas les notes qu’un bon chiffre a effacées ailleurs, ni le compteur d’erreurs.
- Indice remplit une case avec sa réponse, choisie au hasard et non la case que vous pourriez déduire ensuite.
- Solution demande d’abord confirmation, puis remplit la grille et arrête le chrono.
- Nouvelle partie distribue une autre grille au niveau où vous êtes ; les boutons de niveau en distribuent une au leur.
Les chiffres 1–9, les flèches, Retour arrière ou Suppr et Ctrl+Z fonctionnent au clavier. La grille est enregistrée dans ce navigateur après chaque coup, sommes et chrono compris, et vous attend à votre retour. La page du jour propose une nouvelle grille chaque jour, du même générateur.
Pour aller plus loin
Le Sudoku Sandwich est la variante à sommes dont les sommes sont hors de la grille. Le Sudoku Flèche les dessine à l’intérieur, un cercle qui est le total du chemin qui en part, et le Killer Sudoku met une somme dans chaque cage et retire les indices. Le Sudoku Gratte-Ciel garde les indices au bord mais compte ce qu’on voit depuis eux au lieu d’additionner, et le Thermo Sudoku remplace l’arithmétique par un ordre le long d’une ligne.